Μια επιχείρηση έχει συνάρτηση ολικών κερδών π(x,y) =4x² -5y² +20xy όπου και είναι οι πωλούμενες ποσότητες των προϊόντων X και Y αντίστοιχα. Για την παραγωγή κάθε μονάδας προϊόντος X απαιτούνται 2 μονάδες ενός υλικού και για την παραγωγή κάθε μονάδας προϊόντος Y απαιτούνται 5 μονάδες του ιδίου υλικού από το οποίου υπάρχουν διαθέσιμες 40 μονάδες. Να προσδιοριστεί η μέγιστη τιμή του κέρδους της επιχείρησης.

Πολύ ωραία άσκηση βελτιστοποίησης, Sofoklis! Πάμε να τη λύσουμε βήμα βήμα:

Δεδομένα

Η συνάρτηση ολικών κερδών είναι:

π(x,y) = 4x^2 - 5y^2 + 20xy

Περιορισμός

 λόγω της διαθεσιμότητας υλικού:

2x + 5y <= 40,x > 0, y > 0

1. Μέθοδος Αντικατάστασης

Από τον περιορισμό:

2x + 5y = 40 è y = (40 - 2x)/5

Αντικαθιστούμε στην π(x, y) για να την εκφράσουμε μόνο ως προς x:

π(x) = 4x² – 5 * (40 - 2x)/5)² + 20x((40 - 2x)/5)

Ας απλοποιήσουμε:

1. Υπολογίζουμε το τετράγωνο:

π(x) = 4x^2 – 5*{(1600 - 160x + 4x^2)/25} + 20x({40 - 2x}/{5})

Κάνουμε πράξεις:

- Πρώτος όρος: 4x²

- Δεύτερος όρος: 2 – 5*{(1600 - 160x + 4x^2)/25} = - ({1}/{5})(1600 - 160x + 4x²)

- Τρίτος όρος: {800x - 40x²}/5 = 160x - 8x²

π(x) = -(36/5) *x² + 192x - 320

2. Μέγιστο της Παραβολής

Η παραβολή έχει αρνητικό συντελεστή στο( x² ), άρα έχει μέγιστο στο κορυφαίο σημείο:

x = -b / (2a) ≈ 13.33

Αλλά πρέπει να ισχύει ο περιορισμός, τότε:

{80}/{3} + 5y > 40 èπαραβίαση του περιορισμού.

3. Εξερεύνηση Περιοχής Βιωσιμότητας

Δεδομένου του περιορισμού 2x + 5y = 40 , και επειδή οι ποσότητες είναι ακέραιες, ας δοκιμάσουμε ακέραιες τιμές που ικανοποιούν τον περιορισμό.

Μέσω δοκιμών:

- Αν  x = 5,\ y = 6 è  2*5 + 5*6 = 10 + 30 = 40

- Υπολογίζουμε το κέρδος:

π(5,6) = 4*25 – 5*36 + 20*30 = 100 - 180 + 600 = 520

Δοκιμάζουμε γειτονικά σημεία για να επιβεβαιώσουμε ότι πρόκειται για μέγιστο.

 Συμπέρασμα

Το μέγιστο κέρδος είναι 520 και επιτυγχάνεται όταν:

x = 5, y = 6

1. Δεδομένα του προβλήματος

Η συνάρτηση κέρδους είναι:

π(x,y)=4x2−5y2+20xyπ(x, y) = 4x^2 - 5y^2 + 20xy

Ο περιορισμός λόγω υλικού είναι:

g(x,y)=2x+5y−40=0

Συναρτήσεις Lagrange

Ορίζουμε:

L(x,y,λ)=4x²−5y²+20xy−λ(2x+5y−40

Παίρνουμε μερικές παραγώγους:

• ∂L/∂x=8x+20y−2λ =  0
• ∂L/∂y=−10y+20x−5λ=0 = 0
• ∂L/∂λ=−(2x+5y−40) = 0

3. Λύση του συστήματος

Έχουμε το σύστημα:

1. 8x+20y=2λ
2. −10y+20x=5λ
3. 2x+5y=40

Από (1):

λ=8x+20y2=4x+10y

Από (2):

λ=−10y+20x5=4x−2y

Ισώνουμε τις δύο εκφράσεις για λ:

4x+10y=4x−2y⇒10y+2y=0⇒12y=0⇒y=0

Αν y=0y = 0, τότε από (3):

2x+0=40⇒x=20

4. Έλεγχος

Υποψήφιο μέγιστο στο σημείο

(x,y)=(20,0)(x, y) = (20, 0)

Υπολογίζουμε:

π(20,0)=4⋅400−5⋅0+20⋅0=1600

Συμπέρασμα με Lagrange

Το μέγιστο κέρδος είναι 1600, όταν:

x=20, y=0

Μάλιστα, είναι μεγαλύτερο από τη προηγούμενη λύση με δοκιμές, καθώς τώρα εξετάζουμε και την περίπτωση να μην παραχθεί καθόλου προϊόν Y.